lunes, 9 de abril de 2018

PROBABILIDAD

Aunque el concepto de probabilidad parece muy básico e intuitivo, he observado que algunos alumnos no lo tienen tan claro. En esta entrada pretendo trabajar el concepto desde un punto de vista muy elemental para aclarar algunas posibles confusiones.

En este tema trabajaremos con experiencias aleatorias que son aquellas cuyo resultado no es conocido con certeza puesto que depende del azar.

Llamaremos suceso a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

La probabilidad pretende medir las posibilidades que hay de que un suceso ocurra, por eso, en el lenguaje cotidiano utilizamos expresiones como "es poco probable que mañana llueva" cuando queremos indicar que hay pocas posibilidades de que mañana llueva, o "es muy probable que apruebe el examen" cuando pretendemos indicar que hay muchas posibilidades de que apruebe el examen. 

 Sin embargo, asociar "probabilidad" con "posibilidad" puede llevarnos a confusiones graves. Por ejemplo, si preguntamos "¿qué probabilidad hay de que apruebes el curso?", alguien podría razonar del siguiente modo: "como solo hay dos posibilidades (aprobar o suspender) la probabilidad de cada una es del 50%..."  ¡¡Grave error!!


 Vamos a reflexionar sobre algunas cuestiones:

  • ¿Cómo podemos comparar la probabilidad de dos sucesos para decidir cuál es más probable que ocurra? Para resolver este problema, los estudiosos del tema decidieron que la probabilidad fuera un número comprendido entre 0 y 1, que es una escala que utilizamos con frecuencia, y que, además, puede expresarse cómodamente en forma de porcentaje (multiplicando por 100).

De esta forma, cuando la probabilidad de un suceso sea un número muy próximo a 1 diremos que es muy probable que ocurra, y si la probabilidad es muy próxima a 0, diremos que es poco probable que ocurra.


  • Para comprender la forma de asignar probabilidades, vamos a trabajar con un experimento aleatorio regular muy sencillo: Lanzamos un dado cúbico y anotamos la puntuación de la cara superior.

¿Qué es más probable, que aparezca la cara 1 o una puntuación PAR en la cara superior?

Es evidente que es más probable el segundo suceso, pero analicemos por qué.
Solo hay una opción de que ocurra el suceso "obtener cara 1" de entre los 6 resultados posibles, mientras que el suceso "obtener puntuación PAR" se realiza cuando en la cara superior sale o un 2 o un 4 o un 6. Hay, pues, 3 opciones de que ocurra de entre las 6 posibles, por eso decimos que es más probable ya que hay más posibilidades de que ocurra.
Por lo tanto, parece que una buena medida de la probabilidad de un suceso es la proporción de casos favorables a que ocurra dicho suceso entre el número de casos posibles.

Lo mismo sucede con otras muchas experiencias que llamamos regulares (aquellas en las que todos los posibles resultados tienen las mismas posibilidades de ocurrir).
En todas ellas podemos asignar probabilidades aplicando la conocida Regla de Laplace:


  • Ahora vamos a realizar otra experiencia aleatoria sencilla para ilustrar un error relativamente frecuente:  Sacamos una bola de una urna en la que tenemos 3 bolas azules y 5 bolas rojas.

¿Qué probabilidad hay de que la bola extraída sea azul?

Algunos alumnos responden que  1/3  y lo razonan diciendo que deben extraer una de las 3 bolas azules que hay en la urna. ¡¡Grave error!!
Según ese razonamiento habrá una probabilidad 1/5 de que salga roja, es decir, para ellos es más probable que salga azul que roja. ¿No resulta extraño? ¿Dónde está el error?

Como habrás podido comprender, el error se debe a una errónea aplicación del concepto de probabilidad puesto que es evidente que hay 5 opciones de obtener bola roja por solo 3 de que sea azul.

La asignación correcta de probabilidades sería:

La probabilidad de extraer bola azul es de 3 bolas azules de entre las 6 bolas posibles, es decir:
P(Azul) =  3/8.

La probabilidad de extraer bola roja es de 5 bolas rojas de entre las 8 posibles, por lo tanto:
P(Roja) =  5/8.


  • Hasta ahora hemos trabajado con dos experiencias regulares, pero ¿qué ocurre cuando la experiencia no es regular?
Estudiemos el experimento que consiste en lanzar una chincheta y observar en qué posición cae.


¿Cuál es la probabilidad de que caiga con la punta hacia arriba?

Nuevamente, podemos cometer el error de razonar diciendo que solo hay dos posibilidades (punta hacia arriba o punta hacia un lado) por lo que la probabilidad de cada opción sería del 50%.
Está claro que dicha probabilidad depende de la forma de la chincheta, de si tiene la "cabeza" muy grande o más pequeña, por lo que no podemos asignar una probabilidad igual en todos los casos.
No nos quedará más remedio que experimentar. 

Lanzamos la chincheta muchísimas veces y asignamos como probabilidad de cada suceso la frecuencia relativa obtenida en dicha experiencia, es decir:


Por ejemplo, si hemos lanzado la chincheta 1000 veces, y en 650 de los lanzamientos cayó con la punta hacia arriba, diremos que la probabilidad de que la chincheta caiga con la punta hacia arriba es  650/1000 = 0,65.

Hemos de insistir en que la frecuencia relativa es una buena aproximación de la probabilidad solo cuando realizamos la experiencia muchísimas veces. Si realizamos la experiencia pocas veces, el valor de la frecuencia relativa puede alejarse mucho del valor real de la probabilidad.

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Por último, os dejo un enlace a un vídeo en el se explican los conceptos básicos de probabilidad, con ejemplos muy sencillos: Aprendiendo probabilidades
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domingo, 11 de marzo de 2018

TRABAJO ESTADÍSTICA 3º y 4º

¿Sabes que Excel puede ser una herramienta muy útil para analizar datos ¿Sabes que es capaz de hacer análisis estadísticos que pueden ayudarte a tomar mejores decisiones? Ha llegado el momento de juntar estos dos mundos: Excel y Estadística. Descúbre el mundo del análisis de datos estadísticos con Excel. Me voy a encargar que te introduzcas en él a base de ejemplos. ¡Empecemos!
La elaboración de tablas estadísticas para calcular parámetros conlleva la realización de muchas operaciones. Las hojas de cálculo son una herrramienta muy ventajosa por diversos motivos:
1) Se automatizan los cálculos.
2) Ayuda a comprender cómo se calculan los parámetros.
3) Una vez creada una plantilla, cambiando los datos iniciales obtenemos directamente los resultados.
4) Los alumnos agradecen visitar el aula de informática y tener una clase distinta.

TRABAJO EN EQUIPO

A continuación muestro un EJEMPLO que será lo que tenéis que hacer

  1. Organizarse en grupos de 2-3 personas
  2. Elegir el problema a estudiar: Variable estadística cuantitativa discreta
  3. Determinar la Población para la que valdrán los resultados.
  4. Determinar la forma en que se va a tomar la muestra. Tamaño mínimo de la muestra 30-50 individuos. 
  5. Escribir los datos en una tabla.
  6. Ordenar los datos en una tabla de frecuencias (variable, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, porcentajes, grados, etc)
  7. Representar la información mediante un diagrama de columnas y un diagrama de sectores apropiado (se pueden agrupar valores de la variable)
  8. Realizar una tabla para el cálculo de la media, moda, mediana, cuartiles, rango y varianza.
  9. Analizar los resultados obtenidos, valorar la representatividad de los estadísticos calculados y sacar conclusiones.
  10. Presentar adecuadamente los resultados:
    11. a) Portada : Título del trabajo, autores (sencillo/ilustrativo) / presentación general (1p)
    b) Introducción: Puntos 2º, 3º, 4º anteriores (1p)
    c) Datos (en bruto /organizados) : Puntos 5º, 6º (2,5p)
    d) Gráficos  7º (2,5p)
    e) Parámetros estadísticos 8º (1,5p)
    f) Análisis de resultados y Conclusiones 9º (1,5p)
La fecha de entrega será el miércoles 11 de Abril, a partir de ese día se bajará 0,5 puntos por día de retraso hasta el 25 de Abril como fecha TOPE final. Aquí en el blog y en las clases se explicarán algunas versiones de EXCEL pero estas pueden variar y sus funcionalidades aquí explicadas estar en otros sitios o incluso no salir, en cuyo caso se deberá investigar en internet o se me puede consultar las dudas surgidas a mi correo electrónico.

importante_2web

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lunes, 26 de febrero de 2018

ESTADISTICA 3º y 4º

Al poner en práctica una medida social para saber su aceptación. ¿A cuántas personas puede ir dirigida?, ¿cuáles son los distintos niveles?. Frente a una iniciativa como esta, preguntar a toda la población puede agotar los recursos destinados a ella, una encuesta previa puede ahorrarnos algún que otro equívoco.

La estadística descriptiva es la rama de la estadística que recolecta, analiza y caracteriza un conjunto de datos (peso de la población, beneficios diarios de una empresa, temperatura mensual,…) con el objetivo de describir las características y comportamientos de este conjunto mediante medidas de resumen, tablas o gráficos.

POBLACIÓN Y MUESTRA
Cuando se hace un estudio estadístico el investigador decide si analizará toda la población o una muestra elegida previamente. Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico. La muestra es un subconjunto de la población. Debe elegirse de forma que sea representativa de toda la población en la característica estudiada.

ATRIBUTOS Y VARIABLES 
Cada una de las propiedades o características que podemos estudiar es una variable estadística. Dependiendo de los posibles valores que puedan tomar se clasifican en:
  • Variables cualitativas o atributos. Los valores de la variable no son números sino cualidades, se expresan con palabras.El color, la forma, el sexo,...son ejemplos de variables cualitativas.
  • Variables cuantitativas. Los datos se expresan numéricamente y pueden ser:
    • Discretas. Cada una de las variables solo puede tomar valores enteros (1, 2, 3...).El nº de hermanos, el nº ventanas de casa, el nº colegios de tu población,...
    • Continuas. Pueden tomar cualquier valor de un intervalo dado.Nuestro peso, altura, fuerza, no es posible medirlas con números enteros, la densidad del aire, la velocidad media de los fórmula 1 en una carrera,..
TABLAS Y GRÁFICOS 
Recuento de datos: Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos. Generalmente se elabora una tabla como en la simulación de la derecha donde puedes practicar.
  • Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. A la de xi la llamaremos fi.
  • Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.
  • Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi.
  • También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas.
Los datos estadísticos suelen representarse de forma gráfica, ya que de esta forma podemos hacernos una idea de su distribución de un solo golpe de vista. En función del tipo de variable conviene más usar un tipo de gráfico u otro.
  • Diagrama de sectores, puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque es el más adecuado en variables cualitativas y para una primera toma de contacto con los valores de una población. Es un círculo dividido en sectores de ángulo proporcional a la frecuencia de cada valor. La amplitud de cada sector se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 360º.
  • Diagrama de barras. También puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque se considera el idóneo para variables discretas. Cada valor se corresponde con una barra de longitud proporcional a su frecuencia.
AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS
En variables continuas, o en discretas cuando el número de datos distintos se hace casi tan grande como el número de datos, y para poder estudiarlos, se hace necesario agruparlos en intervalos o clases, habitualmente de la misma amplitud y como mínimo 4. 
Por ejemplo, en una población hay casi tantas alturas como individuos pero podemos agruparlos en bajos, medios y altos; también podríamos hacer bajos, medios-bajos, medios-altos y altos, o clasificarlos de 10 en 10 cm, o de 20 en 20... 

Para representar a todos los datos de un intervalo elegimos un valor, el punto medio del intervalo, se llama marca de clase. Cuando los datos vienen agrupados en intervalos se usa para representarlos gráficamente el histograma. Cada valor se representa con un rectángulo de anchura el intervalo correspondiente y con la altura proporcional a su frecuencia.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Y POSICIÓN
Todos los alumnos saben que con un 6 y un 4 tienen de media 5. Pues la media en estadística no es otra cosa que eso, solo que, habitualmente, con más datos.

Para calcular la media si son pocos los datos, se suman todos y se divide entre el número total. Si son muchos, los tendremos agrupados, entonces se suman los productos de cada dato por su frecuencia absoluta y se divide esta suma por el número total de datos. Se indica con x.
MODA
¿Quién no ha oído alguna vez: "Está de moda ir a...", "Se lleva este tipo de pantalón, está de moda", o "Se ha puesto de moda el grupo"..., y todo el mundo entiende que hay una buena cantidad de personas en esas opciones. Así pues, el valor que más frecuencia tenga será"el de moda", aunque puede ocurrir que haya más de uno.
La moda, Mo, de una distribución estadística es el valor de la variable que más se repite, el de mayor frecuencia absoluta. 
MEDIANA Y CUARTILES
La mediana y los cuartiles, como la media aritmética, sólo se pueden calcular cuando la variable es cuantitativa.
La mediana, Me, es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos en orden creciente, es decir, el valor que es mayor que el 50% y menor que el otro 50%.
La mediana divide la distribución en dos partes con igual nº de datos, si la dividimos en cuatro partes obtenemos los cuartiles, 1º, 2º y 3º, que se indican respectivamente Q1, Q2 y Q3.

Ordenados los datos, el primer cuartil, es mayor que el 25% de estos; el tercer cuartil, mayor que el 75%, y el segundo coincide con la mediana.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de centralización.

RANGO Y DESVIACIÓN MEDIA
Rango o recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos. Aunque el rango da una información importante, resulta más interesante calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media.

Desviación media, es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los diferentes datos.

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA
Es otra forma de medir si los datos están o no próximos a la media y es la más utilizada.
  • La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones.
  • La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Es importante que entiendas el significado de estas medidas, cuanto mayores sean más dispersos estarán los datos. Los intervalos alrededor de la media de amplitud 2 o 4 veces la desviación típica, tienen mucha importancia en estadística por el porcentaje de datos que hay en ellos. En el último punto de la escena puedes observar esto.

COCIENTE DE VARIACIÓN
Es el cociente entre la desviación típica y la media, se utiliza para comparar las dispersiones de datos de distinta media.Por ejemplo, para 4 y 6, CV=1/5=0,2 y para 101 y 99 es CV=1/100=0.01. En ambos casos la desviación típica es la misma, pero en relación a la media es más importante en el primero. 
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jueves, 1 de febrero de 2018

FUNCIONES Y GRÁFICAS 3º y 4º

funcionDe esta parte esencial del Análisis Matemático dejamos bastante material resuelto y recursos web interactivos para practicar y asimilar mejor los conceptos. Servirá tanto para 3º como 4º puesto que hay muchos contenidos comunes, como el concepto de función, características, funciones de primer y segundo grado…

Será muy importante llevar el trabajo al día e ir resolviendo las dudas en clase. ¡Ánimo!estudio_funciones
En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.
  • Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
  • Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
  • Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos, así como el signo de la función. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
  • Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma. 

FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.
Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).
Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2
Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7
Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4
Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.
Para calcular la ecuación de la recta dados dos puntos de la recta (punto 1(x1,y1) y punto 2 (x2,y2)) lo primero es hallar la pendiente de la recta (m) utilizamos la formula

Donde x1 y y1 son las coordenadas del punto uno (1) y x2 y y2 las coordenadas del punto dos (2).

Después encontramos el valor de b, una vez se remplace m en la ecuación sustituimos los valores de x y de y por los valores de las coordenadas de uno de los puntos, sea el uno o el dos, el que ustedes deseen, y despejamos b para así obtener su valor.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es una función de segundo grado, es decir, el máximo exponente que puede tener la variable X es 2. La representación en el plano es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas (eje de las Y).
RECURSOS PARA PREPARARSE EL TEMA
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web
pdf_boton_pAquí las relaciones de ejercicios de refuerzo para cada curso:
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Recuerda que también puedes usar GEOGEBRA en casa para experimentar y comprobar los ejercicios:
https://www.geogebra.org/apps/
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viernes, 12 de enero de 2018

ECUACIONES Y SISTEMAS

En matemáticas, como ocurre en otras asignaturas, hay que ser capaz de entender el sentido que tienen los términos que utilizamos. Seguro que tu profesor ya te lo ha dicho; ser capaz de retener la definición con el vocabulario matemático empleado es esencial si queremos progresar en matemáticas.

En esta nueva entrada os he dejado un recopilatorio de videos explicativos, ejercicios resueltos y sin resolver de todo lo que entrará en el examen del 25 de enero, que será ecuaciones de primer grado, de segundo (completas e incompletas), bicuadradas y sistemas de ecuaciones lineales. Así como una colección de problemas que servirán para ayudarnos.
importante_2




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