IES ALQUERIAS MATEMATICAS 17/18: FUNCIONES Y GRÁFICAS 3º y 4º

De esta parte esencial del Análisis Matemático dejamos bastante material resuelto y recursos web interactivos para practicar y asimilar mejor los conceptos. Servirá tanto para 3º como 4º puesto que hay muchos contenidos comunes, como el concepto de función, características, funciones de primer y segundo grado…

Será muy importante llevar el trabajo al día e ir resolviendo las dudas en clase. ¡Ánimo! estudio_funciones

En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.

Para estudiar una función:

Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos, así como el signo de la función. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma.

FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7

Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0) = 4

Si x= 98 entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Para calcular la ecuación de la recta dados dos puntos de la recta (punto 1(x1,y1) y punto 2 (x2,y2)) lo primero es hallar la pendiente de la recta (m) utilizamos la formula

Donde x1 y y1 son las coordenadas del punto uno (1) y x2 y y2 las coordenadas del punto dos (2).

Después encontramos el valor de b, una vez se remplace m en la ecuación sustituimos los valores de x y de y por los valores de las coordenadas de uno de los puntos, sea el uno o el dos, el que ustedes deseen, y despejamos b para así obtener su valor.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es una función de segundo grado, es decir, el máximo exponente que puede tener la variable X es 2. La representación en el plano es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas (eje de las Y).