ESTADISTICA 3º y 4º

Al poner en práctica una medida social para saber su aceptación. ¿A cuántas personas puede ir dirigida?, ¿cuáles son los distintos niveles?. Frente a una iniciativa como esta, preguntar a toda la población puede agotar los recursos destinados a ella, una encuesta previa puede ahorrarnos algún que otro equívoco.

La estadística descriptiva es la rama de la estadística que recolecta, analiza y caracteriza un conjunto de datos (peso de la población, beneficios diarios de una empresa, temperatura mensual,…) con el objetivo de describir las características y comportamientos de este conjunto mediante medidas de resumen, tablas o gráficos.

POBLACIÓN Y MUESTRA

Cuando se hace un estudio estadístico el investigador decide si analizará toda la población o una muestra elegida previamente. Población es el conjunto de individuos, con alguna característica común, sobre el que se hace un estudio estadístico. La muestra es un subconjunto de la población. Debe elegirse de forma que sea representativa de toda la población en la característica estudiada.

ATRIBUTOS Y VARIABLES 

Cada una de las propiedades o características que podemos estudiar es una variable estadística. Dependiendo de los posibles valores que puedan tomar se clasifican en:

• Variables cualitativas o atributos. Los valores de la variable no son números sino cualidades, se expresan con palabras.El color, la forma, el sexo,...son ejemplos de variables cualitativas.
• Variables cuantitativas. Los datos se expresan numéricamente y pueden ser:
• Discretas. Cada una de las variables solo puede tomar valores enteros (1, 2, 3...).El nº de hermanos, el nº ventanas de casa, el nº colegios de tu población,...
• Continuas. Pueden tomar cualquier valor de un intervalo dado.Nuestro peso, altura, fuerza, no es posible medirlas con números enteros, la densidad del aire, la velocidad media de los fórmula 1 en una carrera,..

TABLAS Y GRÁFICOS 

Recuento de datos: Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos. Generalmente se elabora una tabla como en la simulación de la derecha donde puedes practicar.

• Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. A la de xi la llamaremos fi.
• Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.
• Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi.
• También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas.

Los datos estadísticos suelen representarse de forma gráfica, ya que de esta forma podemos hacernos una idea de su distribución de un solo golpe de vista. En función del tipo de variable conviene más usar un tipo de gráfico u otro.

• Diagrama de sectores, puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque es el más adecuado en variables cualitativas y para una primera toma de contacto con los valores de una población. Es un círculo dividido en sectores de ángulo proporcional a la frecuencia de cada valor. La amplitud de cada sector se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 360º.
• Diagrama de barras. También puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque se considera el idóneo para variables discretas. Cada valor se corresponde con una barra de longitud proporcional a su frecuencia.

AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS

En variables continuas, o en discretas cuando el número de datos distintos se hace casi tan grande como el número de datos, y para poder estudiarlos, se hace necesario agruparlos en intervalos o clases, habitualmente de la misma amplitud y como mínimo 4. 

Por ejemplo, en una población hay casi tantas alturas como individuos pero podemos agruparlos en bajos, medios y altos; también podríamos hacer bajos, medios-bajos, medios-altos y altos, o clasificarlos de 10 en 10 cm, o de 20 en 20... 

Para representar a todos los datos de un intervalo elegimos un valor, el punto medio del intervalo, se llama marca de clase. Cuando los datos vienen agrupados en intervalos se usa para representarlos gráficamente el histograma. Cada valor se representa con un rectángulo de anchura el intervalo correspondiente y con la altura proporcional a su frecuencia.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Y POSICIÓN

Todos los alumnos saben que con un 6 y un 4 tienen de media 5. Pues la media en estadística no es otra cosa que eso, solo que, habitualmente, con más datos.

Para calcular la media si son pocos los datos, se suman todos y se divide entre el número total. Si son muchos, los tendremos agrupados, entonces se suman los productos de cada dato por su frecuencia absoluta y se divide esta suma por el número total de datos. Se indica con x.

MODA

¿Quién no ha oído alguna vez: "Está de moda ir a...", "Se lleva este tipo de pantalón, está de moda", o "Se ha puesto de moda el grupo"..., y todo el mundo entiende que hay una buena cantidad de personas en esas opciones. Así pues, el valor que más frecuencia tenga será"el de moda", aunque puede ocurrir que haya más de uno.

La moda, Mo, de una distribución estadística es el valor de la variable que más se repite, el de mayor frecuencia absoluta. 

MEDIANA Y CUARTILES
La mediana y los cuartiles, como la media aritmética, sólo se pueden calcular cuando la variable es cuantitativa.

La mediana, Me, es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos en orden creciente, es decir, el valor que es mayor que el 50% y menor que el otro 50%.

La mediana divide la distribución en dos partes con igual nº de datos, si la dividimos en cuatro partes obtenemos los cuartiles, 1º, 2º y 3º, que se indican respectivamente Q1, Q2 y Q3.

Ordenados los datos, el primer cuartil, es mayor que el 25% de estos; el tercer cuartil, mayor que el 75%, y el segundo coincide con la mediana.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de centralización.

RANGO Y DESVIACIÓN MEDIA

Rango o recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos. Aunque el rango da una información importante, resulta más interesante calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media.

Desviación media, es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los diferentes datos.

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Es otra forma de medir si los datos están o no próximos a la media y es la más utilizada.

• La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones.
• La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Es importante que entiendas el significado de estas medidas, cuanto mayores sean más dispersos estarán los datos. Los intervalos alrededor de la media de amplitud 2 o 4 veces la desviación típica, tienen mucha importancia en estadística por el porcentaje de datos que hay en ellos. En el último punto de la escena puedes observar esto.

COCIENTE DE VARIACIÓN

Es el cociente entre la desviación típica y la media, se utiliza para comparar las dispersiones de datos de distinta media.Por ejemplo, para 4 y 6, CV=1/5=0,2 y para 101 y 99 es CV=1/100=0.01. En ambos casos la desviación típica es la misma, pero en relación a la media es más importante en el primero. 

• Tema completo ED@D 
• Web del IES Aricel (muy interesante) 
• Estadística descriptiva (4º ESO)
• Resumen de la estadística descriptiva
• Parámetros estadísticos (centralización, posición y dispersión)
• Teoría y ejemplos muy claros (vitutor)
• Ejemplos de medidas de centralización y dispersión (vadenumeros) 
• Aplicaciones de la estadística
• El papel de las muestras en estadística  
• Colección de ejercicios resueltos (ANAYA)
• Tablas y gráficos estadísticos (interactivo)
• Parámetros estadísticos (interactivo)

 

• Estadística 01 - Frecuencia absoluta y diagrama de barras PRIMARIA unicoos
• Estadística 02- Porcentajes y diagrama de sectores PRIMARIA unicoos
• Estadística - Parámetros estadísticos SECUNDARIA 
• Calcular MEDIA, MEDIANA y MODA. Datos agrupados y no agrupados 

FUNCIONES Y GRÁFICAS 3º y 4º

De esta parte esencial del Análisis Matemático dejamos bastante material resuelto y recursos web interactivos para practicar y asimilar mejor los conceptos. Servirá tanto para 3º como 4º puesto que hay muchos contenidos comunes, como el concepto de función, características, funciones de primer y segundo grado…

Será muy importante llevar el trabajo al día e ir resolviendo las dudas en clase. ¡Ánimo!

En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio (ver tabla resumen) de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias dentro de un marco concreto de valores.

Para estudiar una función:

• Lo primero que suele hacerse es determinar su dominio de definición, esto es, el conjunto de valores de la variable para los cuales la función toma valor real.
• Seguidamente se procede a estudiar la posible existencia de simetrías y periodicidades en la función, y se determinan los puntos de corte de la misma con los ejes, así como las asíntotas.
• Otro aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento o decrecimiento y extremos relativos, así como el signo de la función. Y por último se estudiará la curvatura (concavidad-convexidad) de la función y sus puntos de inflexión.
• Una vez realizado este estudio preliminar, pasaremos a realizar una tabla resumen de puntos de la función y finalmente la gráfica de la misma. 

FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Para calcular la ecuación de la recta dados dos puntos de la recta (punto 1(x1,y1) y punto 2 (x2,y2)) lo primero es hallar la pendiente de la recta (m) utilizamos la formula

Donde x1 y y1 son las coordenadas del punto uno (1) y x2 y y2 las coordenadas del punto dos (2).

Después encontramos el valor de b, una vez se remplace m en la ecuación sustituimos los valores de x y de y por los valores de las coordenadas de uno de los puntos, sea el uno o el dos, el que ustedes deseen, y despejamos b para así obtener su valor.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es una función de segundo grado, es decir, el máximo exponente que puede tener la variable X es 2. La representación en el plano es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas (eje de las Y).

RECURSOS PARA PREPARARSE EL TEMA
 

• Página web del Instituto de Aricel (super interesante)
• Web interactiva sobre el estudio gráfico de características globales de una función. 
• Recursos interactivos sobre las características de las funciones 
• Ejercicios de interpretación y representación de gráficas
• Estudio global de una función (teoría y ejercicios) 
• Ejercicios resueltos CARACTERÍSTICAS gráficas   
• Explicación de las funciones lineal, afin y constante; y la función cuadrática  
• Tipos de Gráficas y funciones (teoría y ejercicios vitutor)  
• Ejercicios resueltos funciones lineales (vadenumeros) 

Aquí las relaciones de ejercicios de refuerzo para cada curso:

• PDF sobre funciones y representaciones gráficas (recomendable) 
• 3º ESO Refuerzo Tema 7 Funciones y gráficas 
• Refuerzo Funciones 4º ESO

• Introducción a las funciones 
• Función AFIN (UNICOOS) 
• VÍDEO “UNIVERSO MATEMÁTICO”: El lenguaje de las gráficas 
• Funciones con mucho ritmo

Recuerda que también puedes usar GEOGEBRA en casa para experimentar y comprobar los ejercicios:

https://www.geogebra.org/apps/